Calcoli Stellari: Di cosa parlano Neel e Wim?

«Ero bloccato sul quesito numero 5 finché, non ci crederai mai, ho letteralmente scambiato la tavola base di 7 e 9, a te non è mai capitato?»

Così inizia un breve scambio di battute tra Neel e Wim, due dei giovanissimi protagonisti della nuova serie live-action di Star Wars targata Disney+, Skeleton Crew, mentre si trovano sul trasporto che li sta portando a scuola proprio all’inizio del primo episodio. Ma di cosa stanno parlando esattamente i due ragazzini?

Il dettaglio chiave

Poco più avanti, sempre nel primo episodio, Wim si trova nella propria camera a studiare quando suo padre, sorpreso di trovare il figlio intento in qualcosa di costruttivo, dà inizio a un breve dialogo che ci fornisce implicitamente la risposta alla nostra domanda:

«Ehi, guarda un po’… Studi, strano.»

«Fammi una domanda.»

«Oh… La tavola base di 5?»

«1.609… 4?»

«Quasi.»

Per quanto questa possa sembrare una sequenza del tutto casuale di cifre decimali, non lo è affatto: essa è il risultato di una specifica operazione che prende il nome di logaritmo naturale. Ma che cos’è un logaritmo, e come si calcola? Scopriamolo!

Potenze e logaritmi

Sin dalle elementari ci viene insegnato che alcune operazioni si costruiscono a partire da altre operazioni: la divisione è una sottrazione ripetuta, così come la moltiplicazione è una somma ripetuta (basti pensare, per esempio, a 17×2, che non è altro che un modo più compatto di scrivere 17+17); più precisamente, per quanto riguarda il secondo caso, se abbiamo un certo numero a che viene sommato con se stesso un certo numero b di volte, la somma a+…+a (dove a compare b volte) viene scritta semplicemente come a×b. Allo stesso modo, quando in un prodotto abbiamo uno stesso fattore c che si ripete un certo numero n di volte, scriviamo cⁿ invece di c×…×c (con c che compare n volte) e questa nuova operazione è detta elevamento a potenza. In una potenza di questo tipo, c è detto base e n è detto esponente.

Spesso, in Matematica, è utile trovare anche il processo inverso di una data operazione: se abbiamo il risultato di una potenza e ne conosciamo la base, è possibile risalire al suo esponente? La risposta è affermativa grazie proprio al logaritmo: supponiamo, facendo un semplice esempio, di avere una potenza che sappiamo essere pari a 32 e la cui base è 2, qual è allora l’esponente a cui dobbiamo elevare 2 per ottenere 32? La soluzione a questa domanda è 5, infatti 2⁵=2×2×2×2×2=32. Le uniche tre regole per poter definire il logaritmo di un dato numero y rispetto a una base fissata x sono le seguenti:

• y deve essere strettamente positivo (in simboli, y>0);
• x deve essere strettamente positivo (in simboli, x>0);
• x deve essere diverso da 1 (in simboli, x≠1).

L’utilità dei logaritmi sta nella loro straordinaria capacità di condensare informazioni immense in informazioni più semplici: un esempio pratico è il pH di una soluzione, un indice che fa uso di una scala logaritmica e che ci dice se suddetta soluzione è acida, neutra o basica usando valori che vanno da 1 a 14 -dove 1 indica la massima acidità, 7 la neutralità e 14 la massima basicità-; questi numeri, per la precisione, sono dati dal logaritmo in base 10 del numero di protoni “rilasciati” cambiato di segno. Altri esempi ricorrenti sono la Scala Decibel per misurare l’intensità di un suono o la Scala Richter per stabilire l’intensità di un terremoto.

Tra le basi dei logaritmi più utilizzate in Matematica, Fisica e Chimica troviamo anche e, un numero irrazionale pari a circa 2.71828182845… detto Numero di Nepero; questo valore è estremamente ricorrente in natura ed è fondamentale nello studio di diversi fenomeni come la crescita di una popolazione o l’aumento di un capitale grazie a un dato tasso di interesse. e viene spesso usato come esempio canonico di base per le funzioni esponenziali, che sono semplicemente delle funzioni che danno come risultato l’elevamento a potenza della base fissata (in questo caso e) a un esponente arbitrario, ma può anche essere visto come base di un logaritmo chiamato ‘logaritmo naturale’, anch’esso estremamente ricorrente negli ambiti più disparati. A questo punto, la soluzione è letteralmente dietro l’angolo.

La risposta

Se prendiamo il numero 5 e ne andiamo a calcolare il logaritmo naturale ln(5), otteniamo il seguente valore: 1.6094379124341003746007593332261876395256…

Come potete notare, le prime cifre sono esattamente quelle indicate da Wim. Questo ci porta alla verosimile conclusione che i nostri protagonisti, così come i loro compagni di scuola, devono imparare a memoria i logaritmi naturali dei numeri interi da 1 a 100 (o, meglio, le loro ‘tavole base’, per usare il gergo in-universe), cosa che, tra l’altro, non si discosta troppo dal nostro mondo visto che fino a qualche anno fa nelle scuole si usavano le tavole logaritmiche, contenenti proprio i logaritmi rispetto alle basi più utilizzate degli interi da 1 a 100 se non da 1 a 1000, affiancate dalle tavole pitagoriche (che invece ne contenevano quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche). Una pratica oggettivamente inutile oltre che estremamente logorante, soprattutto perché i logaritmi godono di diverse proprietà (derivanti da quelle delle potenze) che li rendono più maneggevoli e il loro calcolo è solitamente affidato alle macchine che, oltre che più veloci, sono anche più precise dei nostri cervelli. Forse, però, il motivo dietro questa scelta discutibile potrebbe essere legato al mistero che aleggia intorno ad At Attin, il pianeta di Wim e degli altri protagonisti di Skeleton Crew: magari non si vuole lasciare ai bambini libero accesso a tecnologie più avanzate e “libere” come i datapad o le calcolatrici, perché potrebbero essere usate per smascherare l’ormai evidente farsa portata avanti soprattutto dai droidi di sorveglianza…

Ma è solo proseguendo con la visione della serie che otterremo delle risposte in merito! Quel che è certo, invece, è che per quanto determinati aspetti fisici della galassia lontana lontana differiscano dai nostri, quelli matematici sembrano essere esattamente gli stessi, come già suggerito dall’articolo che ha dato il via a questa rubrica, anche se i loro nomi possono essere un tantino diversi da quelli a cui siamo abituati.

E voi avevate intuito di cosa stessero parlando Neel e Wim? Sapevate cos’è un logaritmo? Ditecelo come sempre nei commenti! E continuate a seguirci, anche su Facebook, YouTube, Tik Tok, Instagram e Twitter , vi terremo costantemente aggiornati su tutte le novità riguardanti Star Wars.